模拟控制器离散化

Discretization of Analog Controllers
离散系统控制设计完后，都写上控制器算法

\begin{array}{r} D (z) = \frac{U (z)}{E (z)} u (k) = Z^{- 1} [D (z) E (z)] \end{array}

基本思想：数字控制器 $D (z)$ 产生的脉冲响应序列与模拟控制器 $D (s)$ 产生的脉冲响应序列在采样瞬间相等。由于 $L [δ (t)] = 1$ ，实际上就是对 $D (s)$ 取 z 变换：

\begin{array}{r} U (s) = D (s) E (s) = D (s) D (z) = Z [D (s)] \end{array}

如果原控制器稳定，则离散化后也稳定
不具有串联性质

基本思想：数字控制器 $D (z)$ 产生的单位阶跃响应与模拟控制器 $D (s)$ 产生的单位阶跃响应在采样瞬间相等。实际上就是 ZOH 串联的广义对象的 z 变换：

\begin{array}{r} D (z) = Z [\frac{1 - e^{- T s}}{s} D (s)] = (1 - z^{- 1}) Z [\frac{D (s)}{s}] \end{array}

如果原控制器稳定，则离散化后也稳定
不具有串联性质

例子： $D (s) = \frac{a}{s + a}$ ，求阶跃响应不变法对应的数字控制器，以及对应的差分方程

\begin{aligned} \frac{U (z)}{E (z)} & = D (z) = (1 - z^{- 1}) Z [\frac{a}{(s + a) s}] = (1 - z^{- 1}) Z [(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + a})] \\ = (1 - z^{- 1}) (\frac{1}{1 - z^{- 1}} - \frac{1}{1 - e^{- a T} z^{- 1}}) = \frac{z^{- 1} (1 - e^{- a T})}{1 - e^{- a T} z^{- 1}} \end{aligned}

进一步得到差分方程：

\begin{array}{r} u (k) - e^{- a T} u (k - 1) = (1 - e^{- a T}) e (k - 1) \end{array}

将微分方程中的导数项用有限差分来近似等效，得到一个与原微分方程逼近的差分方程。欧拉法
根据 z 变换的定义，以及泰勒级数展开有：

\begin{array}{r} z = e^{T s} = 1 + T s + \frac{T^{2} s^{2}}{2!} + \dots \end{array}

离散化稳态增益保持不变，都不能保持脉冲响应和频率响应

\begin{array}{r} z = e^{s T} \approx 1 + T s \Rightarrow s = \frac{z - 1}{T} \end{array}

前向差分可能将 s 域左半平面的稳定极点映射到 z 平面单位圆外。
原控制器 $D (s)$ 稳定时，数字控制器 $D (z)$ 不一定稳定，实际一般不用前向差分

\begin{array}{r} \frac{d u (t)}{d t} \approx \frac{u (k) - u (k - 1)}{T} = e (k) \end{array}

\begin{array}{r} e^{s T} = \frac{1}{e^{- s T}} \approx \frac{1}{1 - T s} \Rightarrow s = \frac{z - 1}{T z} \end{array}

后向差分将 s 域左半平面的稳定极点映射到 z 平面单位圆内的一个小圆内。
如果 $D (s)$ 稳定，则离散化的数字控制器 $D (z)$ 也一定稳定。（应用较多）
（映射关系有畸变，变换精度较低）

\begin{array}{r} u (k) = u (k - 1) + \frac{T}{2} [e (k) - e (k - 1)] \end{array}

\begin{array}{r} e^{s T} = \frac{e^{s T / 2}}{e^{- s T / 2}} \approx \frac{1 + \frac{T}{2} s}{1 - \frac{T}{2} s} \Rightarrow s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \end{array}

双线性差分将 s 域左半平面的稳定极点映射到 z 平面单位圆内。
如果 $D (s)$ 稳定，则离散化的数字控制器 $D (z)$ 也一定稳定。（应用较多）

Important

注意得到数字控制器后，如果要进一步得到差分方程，要注意不要出现 $z$ 的项，可以上下同除以 $z$

\begin{array}{r} D (z) = \frac{U (z)}{E (z)} = \frac{a T}{z + (a T - 1)} = \frac{a T z^{- 1}}{1 + (a T - 1) z^{- 1}} \Rightarrow u (k) = a T e (k - 1) - (a T - 1) u (k - 1) \end{array}

\begin{array}{r} D (z) = \frac{U (z)}{E (z)} = \frac{z + 1}{A z + B} = \frac{1 + z^{- 1}}{A + B z^{- 1}} \Rightarrow u (k) = - \frac{B}{A} u (k - 1) + \frac{1}{A} (e (k) + e (k - 1)) \end{array}

基本步骤：

将模拟控制器写为零极点的形式，
将零点或极点按照 $z = e^{T s}$ 映射到 z 平面： $s + a \to z - e^{- a T}$
当极点数为 $n$ ，零点数为 $m$ 时，在分母上补充 $(z + 1)^{n - m}$ ，保证零极点个数相等
选定经典输入信号，按照稳态增益相等的原则匹配增益 $k_{z}$
模拟控制器使用：拉普拉斯变换#6.极限性质数字控制器使用： z 变换#4. 极限定理
经典控制输入信号的选择要保证：原来的模拟控制器稳态为常数，才有意义

\begin{array}{r} D (s) = \frac{k_{s} \prod_{i = 1}^{m} (s + z_{i})}{\prod_{i = 1}^{n} (s + p_{i})} \Rightarrow D (z) = \frac{k_{z} \prod_{i = 1}^{m} (z - e^{- z_{i} T})}{\prod_{i = 1}^{n} (z - e^{- p_{i} T})} (z + 1)^{n - m} \end{array}

\begin{array}{r} lim_{s \to 0} s D (s) R (s) = lim_{z \to 1} (z - 1) D (z) R (z) \Rightarrow k_{z} \end{array}

Important

注意写为零极点形式（无论是模拟控制器还是数字控制器），都要在形式上把增益分离出来，避免混淆

\begin{aligned} D (s) = \frac{a}{s + a} = a \cdot \frac{1}{s + a} \Rightarrow D (z) = k_{z} \frac{1}{z - e^{- a T}} (z + 1) \\ lim_{s \to 0} s D (s) \frac{1}{s} = 1 lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z}{z - 1} \frac{k_{z}}{z - e^{- a T}} (z + 1) = \frac{2 k_{z}}{1 - e^{- a T}} = 1 \end{aligned}

\begin{array}{r} D (s) = \frac{s + 2}{(s + 1) (s + 4)} \Rightarrow D (z) = K_{z} \frac{(z - e^{- 2 T}) (z + 1)}{(z - e^{- T}) (z - e^{- 4 T})} \end{array}

\begin{array}{r} lim_{s \to 0} s D (s) R (s) = lim_{s \to 0} s \frac{s + 2}{(s + 1) (s + 4)} \frac{1}{s} = \frac{1}{2} \end{array}

\begin{array}{r} lim_{z \to 1} (1 - z^{- 1}) D (z) R (z) = (1 - z^{- 1}) \cdot K_{z} \frac{(z - e^{- 2 T}) (z + 1)}{(z - e^{- T}) (z - e^{- 4 T})} \cdot \frac{1}{1 - z^{- 1}} = \frac{2 K_{z} (1 - e^{- 2 T})}{(1 - e^{- T}) (1 - e^{- 4 T})} = \frac{1}{2} \end{array}